Question

【题目】如图1，为坐标原点，矩形的顶点，，将矩形绕点按顺时针方向旋转一定的角度得到矩形，此时边、直线分别与直线交于点、．

（1）连接，在旋转过程中，当时，求点坐标．

（2）连接，当时，若为线段中点，求的面积．

（3）如图2，连接，以为斜边向上作等腰直角，请直接写出在旋转过程中的最小值．

Answer 1

【答案】（1）P（﹣4，6）；（2）；（3）

【解析】

（1）利用∠PAO＝∠POA得出PA＝PO，进而得出AE＝EO＝4，即可得出P点坐标；

（2）首先得出Rt△OCQ≌Rt△OC'Q（HL），进而利用平行线的性质求出∠POQ＝∠PQO，即可得出BP＝PO，再利用勾股定理得出PQ的长，进而求出△OPQ的面积；

（3）先构造一组手拉手的相似三角形，将CM的长转化为，然后通过垂线段最短及全等三角形求解即可．

解：如图1，过点P作PE⊥AO于点E，

∵，

∴AO＝8，

∵∠PAO＝∠POA

∴PA＝PO，

∵PE⊥AO，

∴AE＝EO＝4，

∴P（﹣4，6）；

（2）如图2，在Rt△OCQ和Rt△OC'Q中，

，

∴Rt△OCQ≌Rt△OC'Q（HL），

∴∠OQC＝∠OQC'，

又∵OP∥C'Q，

∵∠POQ＝∠OQC'，

∴∠POQ＝∠PQO，

∴PO＝PQ，

∵点P为BQ的中点，

∴BP＝QP，

∴设BP＝OP＝x，

在Rt△OPC中，OP 2＝PC 2＋ OC 2，

∴x2＝（8﹣x）2＋62，

解得：x＝．

故S△OPQ＝×CO×PQ＝×6×＝．

（3）如图3，连接CM、AC，在AC的右侧以AC为腰，∠ACG为直角作等腰直角三角形ACG，连接QG，

∵△AMQ与△ACG为等腰直角三角形，

∴ ，∠MAQ＝∠CAG＝45°，

∴，∠MAC＝∠QAG

∴△MAC∽△QAC，

∴，

∴，

∵点Q在直线BC上，

∴当GQ⊥BC时，GQ取得最小值，

如图3，作GH⊥BC，则GQ的最小值为线段GH的长，

∵∠ACG＝∠B＝90°，

∴∠ACB＋∠GCH＝∠ACB＋∠BAC＝90°，

∴∠GCH＝∠BAC，

又∵∠B＝∠GHC＝90°，AC＝CG，

∴△ABC≌△CHG（AAS）

∴GH＝BC＝8

∴GQ的最小值为8，

∴CM的最小值为．