Question

如图，在菱形ABCD中，过A作AE⊥BC于E，P为AB上一动点，已知cosB=

5

13

，EC=8，则线段PE的长度最小值为

60

13

．

Answer 1

分析：先设BE=x，易知BC=x+8，利用菱形的性质可知AB=BC=x+8，在Rt△ABE中，结合cosB=

5

13

以及余弦的计算可得x=

5

13

×（x+8），易求x，据图可知点E到线段AB的最小距离应该是过E作AB的垂线段的长度，再过E作EP⊥AB于P，在Rt△BPE中，再利用三角函数可求PE．

解答：解：设BE=x，那么BC=x+8，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC=x+8，
又∵cosB=

5

13

，AE⊥BC，
∴BE=cosB•AB，
即x=

5

13

×（x+8），
解得x=5，
点E到线段AB的最小距离应该是过E作AB的垂线段的长度，
那么，先过E作EP⊥AB于P，
在Rt△BPE中，PE=

1-cosB2

•BE=

12

13

×5=

60

13

．
故答案是

60

13

．

点评：本题考查了菱形的性质、解直角三角形、垂线段最短．解题的关键是求出BE的长，注意sinB=

1-cosB2

．