Question

（1）已知a₁，a₂，a₃为三个整数，且a₁≤a₂≤a₃，三个数中的每一数均为其它两数的乘积，求所有满足条件的三数组（a₁，a₂，a₃）．
（2）如果a₁，a₂，a₃，a₄，a₅，a₆为6个整数，且a₁≤a₂≤a₃≤a₄≤a₅≤a₆，六个数中任一个数均为其它五个数中某四个数的乘积，那么满足上述条件的数组（a₁，a₂，a₃，a₄，a₅，a₆）共有多少组？请说明理由．

Answer 1

分析：（1）由已知直接得出三式相乘a₁a₂a₃=（a₁a₂a₃）²，进而分析得出符合要求的值；
（2）首先取a₁，a₂，a₃，a₄，a₅，a₆的绝对值并按大小顺序排列，设为0≤b₁≤b₂≤b₃≤b₄≤b₅≤b₆，根据若b₁=0，b₁≠0，
进行分析得出即可．

解答：解：（1）由题意知a₁=a₂a₃，a₂=a₁a₃，a₃=a₁a₂，三式相乘得a₁a₂a₃=（a₁a₂a₃）²，
∴a₁a₂a₃=0或a₁a₂a₃=1，
即a²₁=0或a²₁=1，
∴a₁=0或a₁=1或a₁=-1，
当a₁=0时，a₂=a₃=0，
当a₁=1时，a₂=a₃=1，
当a₁=-1时，a₂=-1，a₃=-1，
∴共有三个这样的三数组（0，0，0），（1，1，1），（-1，-1，-1）．

（2）取a₁，a₂，a₃，a₄，a₅，a₆的绝对值并按大小顺序排列，
不妨设为0≤b₁≤b₂≤b₃≤b₄≤b₅≤b₆，
则b₁，b₂，b₃，b₄，b₅，b₆也满足题意要求．
①若b₁=0，则b₂，b₃，b₄，b₅，b₆中至少有一个为0，即b₂=0．
由于b₁=b₂=0，∴b₃=b₄=b₅=b₆=0，
∴a₁=a₂=a₃=a₄=a₅=a₆=0
②若b₁≠0，则b₁=b₂b₃b₄b₅或b₁=b₃b₄b₅b₆≥b₂b₃b₄b₅
∴b₁≥b₂b₃b₄b₅
又b₆=b₂b₃b₄b₅或b₆=b₁b₂b₃b₄≤b₂b₃b₄b₅
∴b₆≤b₂b₃b₄b₅，即b₁≥b₆?b₁=b₆．
∴b₁=b₂=b₃=b₄=b₅=b₆，b₁=b⁴₁，b₁=1即a₁，a₂，a₃，a₄，a₅，a₆的绝对值均为1，它们只能是+1或?-1．
（i）a₁=a₂=a₃=a₄=a₅=a₆=1符合条件．
（ii）若a₁，a₂，a₃，a₄，a₅，a₆中有-1，则最少有2个-1，最多有5个-1．
即（-1，-1，1，1，1，1），（-1，-1，-1，1，1，1），（-1，-1，-1，-1，1，1），（-1，-1，-1，-1，-1，1）均符合条件．
∴符合条件的数组共有6组．

点评：此题主要考查了整数问题的综合应用，利用特殊值法进行分析解决问题是数学中常用的一种数学思想，同学们熟练掌握．