Question

填空：

1

2

=1-

1

2

，

1

6

=

1

2

-

1

3

，

1

12

=

1

3

-

1

4

，

1

20

=

1

4

-

1

5

，…．
（1）试求 

1

30

=

1

5

-

1

6

，

1

42

=

1

6

-

1

7

．
（2）请猜想能表示上述规律的等式，并用含字母n（n 整数）的式子表示出来

1

n

-

1

n+1

（3）请你直接利用（2）所得的结论计算下列式子

1

x(x+1)

+

1

(x+1)(x+2)

+

1

(x+2)(x+3)

+…+

1

(x+2008)(x+2009)

．

Answer 1

分析：（1）根据信息，把30写成5×6，42写成6×7，然后拆分开即可；
（2）根据提供的信息，两个连续自然数的积的倒数等于这两个数的倒数的差，写出即可；
（3）把各分式分别拆分成两个分式的差，然后进行计算加减运算即可．

解答：解：（1）

1

30

=

1

5

-

1

6

，

1

42

=

1

6

-

1

7

；

（2）

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

；

（3）

1

x(x+1)

+

1

(x+1)(x+2)

+

1

(x+2)(x+3)

+…+

1

(x+2008)(x+2009)

，
=

1

x

-

1

x+1

+

1

x+1

-

1

x+2

+

1

x+2

-

1

x+3

+…+

1

x+2008

-

1

x+2009

，
=

1

x

-

1

x+2009

，
=

x+2009-x

x(x+2009)

，
=

2009

x(x+2009)

．
故答案为：

1

5

-

1

6

，

1

6

-

1

7

，

1

n

-

1

n+1

．

点评：本题是对数字变化规律的考查，读懂题目信息，观察出“两个连续自然数的积的倒数等于这两个数的倒数的差”是解题的关键．