Question

【题目】综合与探究

如图，抛物线与轴交于两点（点在点的左侧），与轴交于点，连接，点为抛物线对称轴上一动点．

（1）求直线的函数表达式；

（2）连接，求周长的最小值；

（3）在抛物线上是否存在一点．使以为顶点的四边形是以为边的平行四边形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）存在，点的坐标为或．

【解析】

（1）先求出点B，点C坐标，用待定系数法可求解析式；

（2）由△OCD周长=6+OD+CD，可得OD+CD有最小值时，△OCD周长的存在最小值，作点O关于对称轴x=2的对称点O'（4，0），当点C，点D，点O'共线时，O'D+CD的值最小，最小值为CO'的长，即可求解；

（3）分两种情况讨论，由平行四边形的性质可求解．

（1），

令，得，令，得，，

设直线的函数表达式为，

将点的坐标代入表达式，得

，解得．

直线的函数表达式为；

（2），

抛物线的对称轴为直线．

的值固定，

要求周长的最小值，只需求出的最小值．

如解图①，作点关于抛物线对称轴的对称点，连接交抛物线对称轴于点，此时有最小值，即的长，

则

，

．

，

周长的最小值为；

（3）存在，点的坐标为或．

∵以B、C、D、E为顶点的四边形是以BC为边的平行四边形，

∴xB-xD=xC-xE，或xD-xC=xE-xB，

∴6-2=0-xE，或2-0=xE-6

∴xE=-4或8，

∴点E（-4，-10）或（8，-10）