Question

已知矩形ABCD中，AD=nAB，E为AB的中点，BF⊥CE于点F，过点F作DF的垂线交直线BC于G．
（1）如图1，当n=1时，求证：△BFG∽△CFD；
（2）如图2，当n=2时，求证：CG=7BG．

Answer 1

（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，AB=AD，
∴四边形ABCD是正方形，
∴AB∥CD，∠ABC=90°，
∴∠BEC+∠BCE=90°，
∵BF⊥CE，
∴∠FBC+∠BCE=90°，
∴∠FBC=∠BEC，
∵AB∥CD，
∴∠BEC=∠DCE，
∴∠FBC=∠DCF，
∵BF⊥EC，FG⊥DF，
∴∠BFC=∠DFG=90°，
∴∠BFG=∠DFC=90°-∠GFC，
∵∠FBC=∠DCF，
∴△BFG∽△CFD．

（2）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC=90°，AD=BC，AB=CD，
∵AD=2AB，AB=2BE，
∴AD=BC=4BE，
即=，
∵∠CBE=∠BFC=90°，∠FCB=∠FCB，
∴△CFB∽△CBE，
∴==，
∵△BFG∽△CFD，
∴==，
即CD=4BG，
∵AD=BC=2AB=2CD，
∴BC=8BG，
∴CG=BC-BG=7BG．
分析：（1）根据矩形性质得出AB∥CD，∠ABC=90°，求出∠FBC=∠BEC=∠DCF，根据相似三角形的判定推出即可．
（2）求出AD=BC=4BE，推出=，证△CFB∽△CBE，求出==，求出==，推出CD=4BG，求出BC=8BG即可．
点评：本题考查了平行线的性质，矩形的性质，相似三角形的性质和判定的应用，主要考查学生运用定理进行推理的能力．