Question

如图，AB是圆O的直径，AB=2，弦AC=

3

，若D为圆上一点，且AD=1，则∠DAC=

 

．

Answer 1

分析：连接AD，OD，BC，先证明△OAD是等边三角形，利用AB是圆O的直径求得∠C=90°，利用直角三角形中的三角函数可求得∠CAB=30°，点D的位置有两种情况：①当点D在AB的下方的圆弧上，②当点D在AB的上方的圆弧上，分别计算即可．

解答：解：如图，连接AD，OD，BC
∵AO=OB=OD，AB=2，AD=1
∴OA=OD=AD
∴△OAD是等边三角形，∠BAD=60°，AB是圆O的直径
∴∠C=90°
∵AB=2，AC=

3

∴cos∠CAB=

AC

AB

=

3

2

∴∠CAB=30°
点D的位置有两种情况：
①当点D在AB的下方的圆弧上时，∠CAD=∠CAB+∠OAD=30°+60°=90°；
②当点D在AB的上方的圆弧上时，∠CAD=∠OAD-∠CAB=60°-30°=30°．

点评：本题利用了：等边三角形的判定和性质，直径所对的圆周角是直角，余弦的概念，注意点D的位置有两种情况．