Question

平面直角坐标系中，□ABOC如图放置，点A、C的坐标分别为（0，3）、（-1，0），将此平行四边形绕点O[顺时针旋转90°，得到□．

（1）若抛物线过点,求此抛物线的解析式；

（2）求□ABOC和□重叠部分的周长；

（3）点M是第一象限内抛物线上的一动点，问：点M在何处时△的面积最大？最大面积是多少？

并求出此时点的坐标．

 

Answer 1

解: （1）∵由旋转得到，且点A的坐标为，∴点的坐标为.  ……………………………1分

所以抛物线过点.设抛物线的解析式为，可得  解得  ……4分

∴ 过点的抛物线的解析式为.

（2）因为，所以.

所以.

又,

,   ∴△∽△.

又.………………7分

∴.

又△的周长为，

所以△的周长为.……9分

(3)设直线的解析式为，

∵点的坐标分别为，

∴ 解得 ∴.…10分

将直线向右平移，当直线与抛物线只有一个交点M时与y轴交于点P，此时最大，设平移后的直线的解析式为：，

则有： 得，

令，得.

∴.解得

∴点坐标为,点P的坐标为.…12分

因为MP∥,所以△与△同底等高，它们面积相等.故.所以当点M的坐标为时，△的面积有最大值，且最大值为 ……14分