Question

将正整数1，2，…，10分成A、B两组，其中A组：a₁，a₂，…，a_m；B组：b₁，b₂，…，b_n．现从A、B两组中各取出一个数，把取出的两个数相乘．则所有不同的两个数乘积的和的最大值为

 

．

Answer 1

分析：首先根据题意可得：所有不同的两个数乘积的和为：S=（a₁+a₂+…a_m）（b₁+b₂+…b_n），再记x=a₁+a₂+…a_m，y=b₁+b₂+…b_n，即可求得x+y的值，由S=xy=

1

4

[（x+y）²-（x-y）²]即可求得所有不同的两个数乘积的和的最大值，还注意分析等号取得的条件．

解答：解：由条件知，所有不同的两个数乘积的和为：S=（a₁+a₂+…a_m）（b₁+b₂+…b_n），
记x=a₁+a₂+…a_m，y=b₁+b₂+…b_n，
则x+y=1+2+…+10=55，
∵x+y的最大值=55，最小值=1，
S=xy=

1

4

[（x+y）²-（x-y）²]≤

1

4

（55²-1²）=756．
当且仅当|x-y|=1时，上式等号成立．
令a_i=i（i=1，2，…7），b₁=8，b₂=9，b₃=10，则x=28，y=27，
∴等号能取到．
故所有不同的两个数乘积的和的最大值为756．
故答案为：756．

点评：此题考查了不等式的性质．注意在利用不等式性质解题时要分析等号取得的条件，看看是否能取得等号．