Question

已知二次函数y=ax²+bx+c的图象经过A（2，4），其顶点的横坐标是

1

2

，它的图象与x轴交点为B（x₁，0）和（x₂，0），且x₁²+x₂²=13．求：
（1）此函数的解析式，并画出图象；
（2）在x轴上方的图象上是否存在着D，使S_△ABC=2S_△DBC？若存在，求出D的值；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析：（1）已知函数的解析式，把点（2，4）代入，然后再根据顶点坐标公式及方程两根之和和两根之差，列出三个式子，从而求解；
（2）先设出D点的坐标，然后再根据已知条件S_△ABC=2S_△DBC，求出D点的坐标，从而求解．

解答：解：（1）∵二次函数y=ax²+bx+c的图象经过A（2，4），
∴4a+2b+c=4 ①
∵顶点的横坐标是

1

2

，
-

b

2a

=

1

2

②
∵函数图象与x轴交点为B（x₁，0）和（x₂，0），
∴x₁+x₂=-

b

a

，x₁x₂=

c

a

，
∴x₁²+x₂²=（x₁+x₂）²-2x₁x₂=

b2-2ac

a2

=13③
x₁²+x₂²=（x₁+x₂）²-2x₁x₂，
由②得：a=-b代入①得：-2b+c=4 c=2b+4，
将a=-b c=2b+4代入③得：b²+2b（2b+4）=13b²，
b=0或b=1
∵b=0不合题意，
∴b=1，a=-1，c=6
∴y=-x²+x+6；

（2）设D（x，y） 则S_△ABC=

1

2

×BC×4=10，
S_△DBC=

1

2

×5|y|=

5

2

y=5，
∴y=2，
将y=2代入y=-x²+x+6，
x=

1± 17

2

∴D(

1+ 17

2

，2)或(

1- 17

2

，2)．

点评：（1）第一问主要考查了用待定系数法求函数的解析式，还考查一元二次方程与函数的关系．
（2）此问把三角形的面积公式同函数结合起来出题，求特殊点的坐标，比较新颖．