Question

．阅读材料：如图9，在平面直角坐标系中，、两点的坐标分别为，

 ，中点的坐标为．由，得，

同理，所以的中点坐标为．

由勾股定理得，所以、两点

间的距离公式为．

注：上述公式对、在平面直角坐标系中其它位置也成立．

   

解答下列问题：

如图10，直线：与抛物线交于、两点，为的中点，

过作轴的垂线交抛物线于点．

（1）求、两点的坐标及点的坐标；

（2）连结，求证为直角三角形；

（3）将直线平移到点时得到直线，求两

直线与的距离．

 

.

Answer 1

解：（1）由，解得， ．

则,两点的坐标分别为：，，

∵是,的中点，由中点坐标公式得点坐标为，

又轴交抛物线于点，将代入中得,

∴点坐标为．

（2）由两点间距离公式得：

，，

∴，

∴，，

∴，即

 ∴ 为直角三角形．

（3）过点作于 ，过点作于 ，

则点的坐标为，

∴ ,

∴．

又直线与之间的距离等于点C到的距离CG，

∴直线与之间的距离为．