Question

如图，在Rt△ABC中，∠C=90°．
（1）如果BD是∠ABC的平分线，DE⊥AB，DC=3，那么易知DE=______．
（2）如果在AB上取点E，使BE=BC，然后画DE⊥AB交AC于点D，那么BD就是∠ABC的平分线．请写出证明过程．

Answer 1

解：（1）∵在Rt△ABC中，∠C=90°，
即CD⊥BC，
∵BD是∠ABC的平分线，DE⊥AB，
∴DE=DC，
∵DC=3，
∴DE=3；
故答案为：3；

（2）证明：∵在Rt△ABC中，∠C=90°，DE⊥AB，
∴∠BED=∠C=90°，
在Rt△BCD和Rt△BED中，
∵，
∴Rt△BCD≌Rt△BED（HL），
∴∠CBD=∠EBD，
∴BD就是∠ABC的平分线．
分析：（1）由在Rt△ABC中，∠C=90°，BD是∠ABC的平分线，DE⊥AB，DC=3，根据角平分线的性质，即可求得DE的长；
（2）由在Rt△ABC中，∠C=90°，DE⊥AB，BE=BC，利用HL即可证得Rt△BCD≌Rt△BED，然后可证得BD就是∠ABC的平分线．
点评：此题考查了角平分线的性质以及全等三角形的判定与性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．