Question

如图1，已知抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，且OB =" 2OA" = 4．

（1）求该抛物线的函数表达式；

（2）设P是（1）中抛物线上的一个动点，以P为圆心，R为半径作⊙P，求当⊙P与抛物线的对称轴l及x轴均相切时点P的坐标．

（3）动点E从点A出发，以每秒1个单位长度的速度向终点B运动，动点F从点B出发，以每秒个单位长度的速度向终点C运动，过点E作EG//y轴，交AC于点G（如图2）．若E、F两点同时出发，运动时间为t．则当t为何值时，△EFG的面积是△ABC的面积的？

 

Answer 1

【答案】

（1）抛物线为（2）满足条件的点P的坐标为P₁（，）、P₂（，）、P₃（，）、P₄（，）（3）当t = 1时，△EFG的面积是△ABC的面积的

【解析】

试题分析：（1）解：∵OB=2OA=4

∴A（–2，0）、B（4，0）

由已知得：

解得：

所求抛物线为

（2）解法一：当点P在第一象限时，

过点P作PQ⊥l于Q，作PR⊥x轴于R

⊙P与x轴、直线l都相切，

∴PQ=PR

由（1）知抛物线的对称轴l为x = 1，设P（x，）

则PQ = x–1，PR =

∴x–1 = ，解得：（其中舍去）

∴PR =" PQ" = x–1=

∴P（，）

同理，当点P在第二象限时，可得P（，）

当点P在第三象限时，可得P（，）

当点P在第四象限时，可得P（，）

综上述，满足条件的点P的坐标为P₁（，）、P₂（，）、P₃（，）、P₄（，）

解法二：由已知得点P也在由对称轴l及x轴所组成的角的平分线所在的直线m上

当直线m过一、三、四象限时，设直线m与y轴交于N，对称轴l与x轴交于M

由（1）知直线l为x = 1

故M（1，0）

∵∠OMN =45º=∠ONM

∴ON =" OM" = 1

∴N（0，–1）

∴直线m为：y = x–1

解方程组

得： 

∴点P的坐标为（，）或（，）

当直线m经过一、二、四象限时，

同理可得点P的坐标为（，）或（，）

∴点P的坐标为P₁（，）、P₂（，）、P₃（，）、P₄（，）

（3）解：过点F作FH⊥EG于点H，作FJ⊥x轴于J

由（1）知点C的坐标为（0，–4）

∴OB=OC=4

∵∠OBC=∠OCB = 45º

∴FJ=BJ=

∴F（4–t，t）

∵AE = t，∴E（–2 + t，0）

∴A（–2，0）、C（0，–4）

∴直线AC为：y =–2x–4

把x =–2 + t代入得：y =–2t，∴G（–2 + t，–2t）

∴EG = 2t，FH = (4–t )–(–2 + t ) = 6–2t

∴ 

∵

∴，解得， 

∵当t = 2时，G（0，–4），E（0，0），此时EG与OC重合，不合题意，舍去

∴当t = 1时，△EFG的面积是△ABC的面积的．

考点：二次函数和动点问题

点评：本题难度较大，主要考查学生对二次函数解决动点问题综合运用能力，动点为中考常考题型，要求学生注意培养数形结合思想，培养综合分析归纳能力，并运用到考试中去。