Question

【题目】已知，如图，二次函数（）图象的顶点为，与轴交于、两点（在点右侧），点，关于直线对称.

（1）坐标为 ；坐标为： ；坐标为 ；

（2）求二次函数解析式；

（3）在直线上是否存在一点，使得最大？若不存在，请说明理由：若存在，请求出此时的面积；

（4）过点作直线交直线于点，，分别为直线和直线上的两个动点，连接、、，求和的最小值.

Answer 1

【答案】（1），，；（2）；（3）存在，的面积为；（4）的最小值为8.

【解析】

（1）由直线的解析式可求出点A的坐标；再根据二次函数的对称轴可知点B的坐标；然后根据直线的解析式和点、的横坐标确定HB与直线的交点在y轴上，最后根据点的对称性求解即可；

（2）将点H的坐标代入二次函数的解析式求解即可；

（3）先根据三角形的三边关系确定点P的位置，再求出其坐标，最后根据三角形的面积公式求解即可；

（4）先求出点K的坐标，再利用两点之间线段最短求出的最小值为BM，然后再次利用两点之间线段最短求出的最小值，即为最小值，最后利用勾股定理求解即可.

（1）令，代入直线的解析式得：

解得：，则点A的坐标为

如图1，设直线与y轴的交点为C

令，代入直线的解析式得：，则点C的坐标为

二次函数的对称轴为，点A、B关于对称轴对称

则点B的坐标为，二次函数顶点D的横坐标为

点、关于直线对称，并且点、的横坐标关于原点对称

则HB与直线的交点为点

因此，点H的纵坐标为，即点H的坐标为

综上，；

（2）把代入得：

解得：

故二次函数解析式为；

（3）由三角形的三边关系得：

则当P、H、A三点共线时，最大，最大值为AH

此时，点P为直线与AH所在直线的交点

设直线的解析式为

将和代入得：

解得：，则直线AH的解析式为

联立，解得

则点P的坐标为；

故此时的面积为

综上，存在这样的点P，使得最大，此时的面积为；

（4）∵过点作直线，直线AH的解析式为

∴直线的解析式为中的

又因为在直线上，代入求出

∴直线的析解式为：

联立，解得：

∴交点的坐标是

则

∵点、关于直线对称

∴的最小值是

如图2，过作轴于，作点关于直线的对称点，连接，交直线于

则，，，

∴根据两点之间线段最短公理得出的最小值是

即的长是的最小值

∵

∴

由勾股定理得

故的最小值为8.