题目内容

探索题
图a是一个长为2 m、宽为2 n的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后按图b的形状拼成一个正方形．

（1）你认为图b中的影部分的正方形的边长等于多少？
（2）请用两种不同的方法求图b中阴影部分的面积．
方法1：
方法2：
（3）观察图b你能写出下列三个代数式之间的等量关系吗？
代数式：（m+n）²，（m-n）²，mn，
（4）根据（3）题中的等量关系，解决如下问题：若a+b=7，ab=5，则（a-b）²=．

解：（1）图b中的阴影部分的正方形的边长等于长为m，宽为n的长方形的长宽之差，即m-n；

（2）方法一：图b中的阴影部分的正方形面积等于大正方形的面积减去4个长方形的面积，即（m+n）²-4mn；
方法二：图b中的阴影部分的正方形的边长等于m-n，所有其面积为（m-n）²；

（3）（m-n）²=（m+n）²-4mn；

（4）∵（a-b）²=（a+b）²+4ab，
当a+b=7，ab=5，
∴（a-b）²=7²+4×5=69．
故答案为m-n；（m+n）²-4mn；（m-n）²；69．
分析：（1）观察得到长为m，宽为n的长方形的长宽之差即为阴影部分的正方形的边长；
（2）可以用大正方形的面积减去4个长方形的面积得到图b中的阴影部分的正方形面积；也可以直接利用正方形的面积公式得到；
（3）利用（2）中图b中的阴影部分的正方形面积得到（m-n）²=（m+n）²-4mn；
（4）根据（3）的结论得到（a-b）²=（a+b）²+4ab，然后把a+b=7，ab=5代入计算．
点评：本题考查了完全平方公式的几何背景：利用几何图形之间的面积关系得到完全平方公式．