Question

如图，在直角梯形OABC中，AB∥OC，O为坐标原点，点A在y轴正半轴上，点C在x轴正半轴上，点B的坐标为（2，），∠BCO=60，OH⊥BC，垂足为H．动点P从点H出发，沿线段HO向点O运动，动点Q从点O出发，沿线段OA向点A运动，两点同时出发，速度都为每秒1个单位长度．设点P运动的时间为t s．
（1）求OH的长；
（2）若△OPQ的面积为S（平方单位），求S与t之间的函数关系式．并求t为何值时，△OPQ的面积最大，最大值是多少？

Answer 1

解（1）∵AB∥OC，
∴∠OAB=∠AOC=90°，
在Rt△OAB中，AB=2，AO=2，
∴OB=4，∠ABO=60°，
∴BOC=60°，
而∠BCO=60°，
∴△BOC为等边三角形，
∴OH=2；

（2）∵OP=OH-PH=2-t，
∴xp=3-，yp=-，
所以S=OQ×xp=×t×（3-）=-t²+（0＜t＜2），
即S=-
∴当t=时，S_最大=．
分析：（1）判定△BOC为等边三角形后即可得到OH=AO=2；
（2）利用OP=OH-PH=2-t，表示出点P的横纵坐标，然后利用三角形的面积公式计算三角形即可得到二次函数，配方后确定其最值即可；
点评：本题考查了二次函数的综合知识，特别是本题中涉及到的点的坐标与线段的长之间的互化，更是中考的热点考题之一．