Question

如图，有一边长为5cm的正方形ABCD和等腰△PQR，PQ=PR=5cm，QR=8cm，点B、C、Q、R在同一条直线l上，当C、Q两点重合时，等腰△PQR以1cm/秒的速度沿直线l按箭头所示方向开始匀速运动，t秒后正方形ABCD与等腰△PQR重合部分的面积为Scm²．解答下列问题：
（1）当t=3秒时，求S的值；
（2）当t=5秒时，求S的值；
（3）当5秒≤t≤8秒时，求S与t的函数关系式，并求出S的最大值．

Answer 1

分析：（1）当t=3时，CQ=3，过P作PE⊥QR于E，易求得PE的长和△QPE的面积，设PQ交CD于G，由于CG∥PE，可证得△CQG∽△EQP，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方即可得到S的值．
（2）当t=5时，Q、B重合，线段PR与CD相交，设PR与CD相交于G，可仿照（1）的方法求得△RCG的面积，从而由△RPQ、△RCG的面积差求得阴影部分的面积．
（3）当5≤t≤8时，AB与PQ相交，RP与CD相交，仿照（1）的方法，可求得正方形外部的两个小三角形的面积，进而可参照（2）的方法求得阴影部分的面积表达式，由此可得到关于S、t的函数关系式，根据函数的性质即可得到S的最大值．

解答：解：（1）作PE⊥QR，E为垂足．
∵PQ=PR，
∴QE=RE=

1

2

QR=4，
在Rt△PEQ中
∴PE=

52-42

=3；（1分）
当t=3时，QC=3，设PQ与DC交于点G．
∵PE∥DC，
∴△QCG∽△QEP．（2分）
∴

S

S△QEP

=(

3

4

)2，
∵S_△QEP=

1

2

×4×3=6，
∴S=(

3

4

)2×6=

27

8

（cm²）．（3分）

（2）当t=5时，CR=3．
设PR与DC交于G，由△RCG∽△REP，可求出CG=

9

4

，
所以，S_△RCG=

1

2

×3×

9

4

=

27

8

（cm²），（5分）
S=12-

27

8

=

69

8

（cm²）．（6分）

（3）当5≤t≤8时，QB=t-5，RC=8-t，设PQ交AB于点H，
由△QBH∽△QEP，EQ=4，∴BQ：EQ=（t-5）：4，
∴S_△BQH：S_△PEQ=（t-5）²：4²，又S_△PEQ=6，
∴S_△QBH=

3

8

（t-5）²（7分）
由△RCG∽△REP，同理得S_△RCG=

3

8

（8-t）²（8分）
∴S=12-

3

8

（t-5）²-

3

8

（8-t）²．即S=-

3

4

t2+

39

4

t-

171

8

（9分）
当t=-

39 4

2×(- 3 4 )

=

13

2

时，S最大，S的最大值=

4ac-b2

4a

=

165

16

（cm²）．（10分）

点评：此题考查了正方形的性质、等腰三角形的性质、相似三角形的判定和性质、图形面积的求法等知识，熟练掌握相似三角形的性质（相似三角形的面积比等于相似比的平方）是解答此题的关键．