Question

如图，AB为半圆的直径，CD∥AB，若AB=2cm，AD=xcm，四边形ABCD的周长为ycm，则y与x的函数关系式为

 

，周长最长为

 

．

Answer 1

分析：连接BD，过D作DE⊥AB于E，过C作CF⊥AB于F，设CD=a，由平行得到弧AD=弧BC，推出AD=BC，得出矩形CDEF，根据矩形的性质推出CD=EF，证△CFB≌△DEA，求出AE=BF=

2-a

2

，根据勾股定理求出BD，DE，关键三角形的面积公式得到

1

2

×2×

x2- (2-a) 4 2

=

1

2

×x×

4-x2

，求出a的值即可，把二次函数化成顶点式即可求出周长的最大值．

解答：解：连接BD，过D作DE⊥AB于E，过C作CF⊥AB于F，设CD=a，
∵CD∥AB，
∴弧AD=弧BC，
∴AD=BC，
∴四边形CDEF是矩形，
∴CD=EF，
∵AD=BC，DE=CF，∠DEA=∠CFB=90°，
∴△CFB≌△DEA，
∴AE=BF=

2-a

2

，
在△ADB中由勾股定理得：BD=

AB2- AD2

=

4-x2

，
在△AED中由勾股定理得DE=

AD2-AE2

=

x2- (2-a) 4 2

，
根据三角形的面积公式得：

1

2

×2×

x2- (2-a) 4 2

=

1

2

×x×

4-x2

，
解得：a=2+x²（舍去），a=2-x²，
y与x的函数关系式为：2+x+x+2-x²=-x²+2x+4，
=-（x-1）²+5，
周长最大是5，
故答案为：y=-x²+2x+4，5．

点评：本题主要考查对勾股定理，矩形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，三角形的面积，圆心角，弧，弦之间的关系，等腰梯形的性质，平行线的性质，二次函数的最值等知识点的理解和掌握，能综合运用这些性质进行计算是解此题的关键．