Question

如图，圆内接四边形ABCD，AB是⊙O的直径，OD⊥BC于E．
（1）求证：∠BCD=∠CBD；
（2）若BE=4，AC=6，求DE．

Answer 1

分析：（1）根据OD⊥BC于E可知

BD

=

CD

，所以BD=CD，故可得出结论；
（2）先根据圆周角定理得出∠ACB=90°，再OD⊥BC于E可知OD∥AC，由于点O是AB的中点，所以OE是△ABC的中位线，故OE=

1

2

AC，在Rt△OBE中根据勾股定理可求出OB的长，故可得出DE的长，进而得出结论．

解答：解：（1）∵OD⊥BC于E，
∴

BD

=

CD

，
∴BD=CD，
∴∠BCD=∠CBD；

（2）∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∵OD⊥BC于E，
∴OD∥AC，
∵点O是AB的中点，
∴OE是△ABC的中位线，
∴OE=

1

2

AC=

1

2

×6=3，
在Rt△OBE中，
∵BE=4，OE=3，
∴OB=

BE2+OE2

=

42+32

=5，即OD=OB=5，
∴DE=OD-OE=5-3=2．

点评：本题考查的是垂径定理，熟知平分弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧是解答此题的关键．