Question

已知关于x的一元二次方程x²+2（n+1）x+n²-

7

2

=0．
（1）当n为何值时，方程有两个不相等的实数根？
（2）设x₁，x₂是方程的两个不相等的实数根且x₁²+x₂²=5，求n的值．

Answer 1

分析：（1）判断上述方程的根的情况，只要根的判别式△=b²-4ac＞0即可得出答案．
（2）利用根与系数的关系得出x₁+x₂=-

b

a

，x₁x₂=

c

a

，进而得出关于n的一元二次方程求出即可．

解答：解：（1）∵原方程有两个不相等的实数根，
∴△=b²-4ac=4（n+1）²-4（n²-

7

2

）=8n+18＞0，
∴n＞-

9

4

，

（2）∵x₁²+x₂²=5，
∴（x₁+x₂）²-2x₁x₂=5，
∴[-2（n+1）]²-2（n²-

7

2

）=5，
整理得出：n ²+4n+3=0，
解得：n ₁=-1，n ₂=-3．

点评：此题主要考查了一元二次方程中根的判别式以及根与系数的关系，总结：一元二次方程根的情况与判别式△的关系：
（1）△＞0?方程有两个不相等的实数根；（2）△=0?方程有两个相等的实数根；（3）△＜0?方程没有实数根．