Question

如图，在直角坐标系中，点A的坐标为（-2，0），连接OA，将线段OA绕原点O顺时针旋转120°，得到线段OB．
（1）求点B的坐标；
（2）求经过A、O、B三点的抛物线的解析式；
（3）在（2）中抛物线的对称轴上是否存在点C，使△BOC的周长最小？若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）根据A点坐标，可得到OA、OB的长，过B作BD⊥x轴于D，由于∠OBD=60°，通过解直角三角形，即可求得B点的坐标；
（2）根据A、O、B三点坐标，即可利用待定系数法求出该抛物线的解析式；
（3）由于A、O关于抛物线的对称轴对称，若连接BA，那么直线BA与抛物线对称轴的交点即为所求的C点，可先求出直线AB的解析式，联立抛物线的对称轴方程即可求出C点的坐标．

解答：解：（1）过B作BD⊥x轴于D
∵A（-2，0），
∴OA=OB=2
Rt△OBD中，∠BOD=60°，OB=2，
∴∠OBD=30°，
∴OD=1，BD=

3

故B（1，

3

）；（2分）

（2）设抛物线的解析式为y=a（x-0）（x+2），
代入点B（1，

3

），
得a=

3

3

，（3分）
因此y=

3

3

x²+

2 3

3

x；（5分）

（3）如图，抛物线的对称轴是直线x=-1，
∵A、O两点关于直线x=-1对称，
∴当点C位于对称轴与线段AB的交点时，△BOC的周长最小，即△BOC的周长线段AB的长；
设直线AB为y=kx+b，
所以

k+b= 3 -2k+b=0

，
解得

k= 3 3 b= 2 3 3

，
因此直线AB为y=

3

3

x+

2 3

3

，（7分）
当x=-1时，y=

3

3

，
因此点C的坐标为（-1，

3

3

）．（8分）

点评：此题主要考查了图形的旋转变化、二次函数解析式的确定、平面展开-最短路径等相关知识，难度适中．