Question

已知：如图，在△ABC中，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c．点E是AC边上的一个动点（点E与点A、C不重合），点F是AB边上的一个动点（点F与点A、B不重合），连接EF．
（1）当a、b满足a²+b²-16a-12b+100=0，且c是不等式组

x+12 4 ≤x+6 2x+2 3 ＞x-3

的最大整数解时，试说明△ABC的形状；
（2）在（1）的条件得到满足的△ABC中，若EF平分△ABC的周长，设AE=x，y表示△AEF的面积，试写出y关于x的函数关系式．

Answer 1

分析：（1）利用配方法把a²+b²-16a-12b+100=0整理为完全平方形式，根据非负数的性质得到a、b的值；再解不等式组

x+12 4 ≤x+6 2x+2 3 ＞x-3

求出c的值，进而判断三角形的形状；
（2）先由EF平分△ABC的周长，得到AE+AF的和为12，再利用三角函数求出AE边上的高DF=0.8（12-x），然后根据三角形的面积公式得到△AEF的面积，进而求出y关于x的函数关系式．

解答：解：（1）∵a²+b²-16a-12b+100=0，
∴（a-8）²+（b-6）²=0，
∴a-8=0，b-6=0，
∴a=8，b=6．
∵

x+12 4 ≤x+6 2x+2 3 ＞x-3

，
解得-4≤x＜11，
∵c是不等式组

x+12 4 ≤x+6 2x+2 3 ＞x-3

的最大整数解，
∴c=10．
∵8²+6²=10²，即a²+b²=c²，
∴△ABC是直角三角形；

（2）如图，过点F作FD⊥AC于D．
∵EF平分△ABC的周长，
∴AE+AF=

1

2

（a+b+c）=12，
∵AE=x，
∴AF=12-x（2＜x＜6）．
∵sinA=

a

c

=0.8，
∴DF=sinA•AF=0.8（12-x）．
∴△AEF的面积=

1

2

×AE×DF=

1

2

x•0.8（12-x）=-0.4x²+4.8x（2＜x＜6）．

点评：本题主要考查了配方法，非负数的性质，勾股定理的逆定理，一元一次不等式组的整数解，三角形的周长与面积，涉及的知识点较多，难度中等，注意利用三角函数求出所需线段的长度是解题的关键．