Question

【题目】图中是抛物线拱桥，P处有一照明灯，水面OA宽4m，从O、A两处观测P处，仰角分别为α、β，且tanα=，tanβ=，以O为原点，OA所在直线为x轴建立直角坐标系．

（1）求点P的坐标；

（2）水面上升1m，水面宽多少（取1.41，结果精确到0.1m）？

Answer 1

【答案】（1）P（3，）；（2）2.8米．

【解析】

试题分析：（1）过点P作PH⊥OA于H，如图，设PH=3x，运用三角函数可得OH=6x，AH=2x，根据条件OA=4可求出x，即可得到点P的坐标；

（2）若水面上升1m后到达BC位置，如图，运用待定系数法可求出抛物线的解析式，然后求出y=1时x的值，就可解决问题．

试题解析：（1）过点P作PH⊥OA于H，如图．

设PH=3x，在Rt△OHP中，∵tanα=，∴OH=6x．

在Rt△AHP中，∵tanβ==，∴AH=2x，∴OA=OH+AH=8x=4，∴x=，∴OH=3，PH=，∴点P的坐标为（3，）；

（2）若水面上升1m后到达BC位置，如图，过点O（0，0），A（4，0）的抛物线的解析式可设为y=ax（x﹣4），∵P（3，）在抛物线y=ax（x﹣4）上，∴3a（3﹣4）=，解得a=，∴抛物线的解析式为．

当y=1时，，解得，，∴BC=（）﹣（）==2×1.41=2.82≈2.8．

答：水面上升1m，水面宽约为2.8米．