Question

【题目】如图，正方形的边长为，，，，分别是，，，上的动点，且．

（1）求证：四边形是正方形；

（2）求四边形面积的最小值．

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）四边形面积的最小值为32．

【解析】

(1)由正方形的性质得出.∠A=∠B=∠C=∠D=90°,AB=BC=CD=DA，证出AH=BE=CF=DG，由SAS证明△AEH≌△BFE≌△CGF≌△DHG，得出EH=FE=GF=GH,

∠AEH=∠BFE，证出四边形EFGH是菱形，再证出∠HEF=90°，即可得出结论;

(2)设四边形EFGH面积为S，AE=xcm,则BE=(8-x)cm,由勾股定理得出S=x2+(8-x)2=2(x-4)2+32,S是x的二次函数，容易得出四边形EFGH面积的最小值.

证明：（1）∵四边形是正方形，

∴，．

∵，∴．

∴，

∴，，，

∴四边形是菱形，

∵，，，

∴四边形是正方形．

（2）设，

则，

S四边形EFGH，

∴当时，四边形面积的最小值为32．