题目内容
如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB=AC=10，BC=12，P是劣弧BC的中点，过点P作⊙O的切线交AB延长线于点D．
（1）求证：DP∥BC；
（2）求DP的长．
（1）求证：DP∥BC；
（2）求DP的长．
（1）证明：连接AP，
∵AB=AC，
∴
=
，
又∵P是劣弧BC的中点，
∴
=
，…（1分）
∴
=
，
∴AP为⊙O的直径，
又∵DP为⊙O的切线，
∴AP⊥DP，…（2分）
过点A作AM⊥BC于点M，
∴M为BC中点，
∴AM必过圆心O，
即：A，M，O，P四点共线，
∴DP∥BC．…（3分）
（2）∵在Rt△AMB中，BM=
BC=
×12=6，
∴AM=
=
=8，
∴tan∠BAM=
=
，
在Rt△OMB中，设OB=r，
则由勾股定理得：r2=（8-r）2+62，
解得：r=
，
∴AP=
，…（5分）
在Rt△APD中，DP=AP•tan∠DAP=
×
=
．…（6分）
∵AB=AC，
∴
 |
| AB |
|
| AC |
又∵P是劣弧BC的中点，
∴
|
| BP |
|
| CP |
∴
|
| ABP |
|
| ACP |
∴AP为⊙O的直径，
又∵DP为⊙O的切线，
∴AP⊥DP，…（2分）
过点A作AM⊥BC于点M，
∴M为BC中点，
∴AM必过圆心O，
即：A，M，O，P四点共线，
∴DP∥BC．…（3分）
（2）∵在Rt△AMB中，BM=
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
∴AM=
| AB2-BM2 |
| 102-62 |
∴tan∠BAM=
| BM |
| AM |
| 3 |
| 4 |
在Rt△OMB中，设OB=r，
则由勾股定理得：r2=（8-r）2+62，
解得：r=
| 25 |
| 4 |
∴AP=
| 25 |
| 2 |
在Rt△APD中，DP=AP•tan∠DAP=
| 25 |
| 2 |
| 3 |
| 4 |
| 75 |
| 8 |
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点A和B不重合），以OA为半径的⊙O与AB相交于点E．