题目内容
如图，已知抛物线与x轴交于A，B两点，A在B的左侧，A坐标为（-1，0）与y轴交于点C（0，3）△ABC的面积为6．（1）求抛物线的解析式；
（2）抛物线的对称轴与直线BC相交于点M，点N为x轴上一点，当以M，N，B为顶点的三角形与△ABC相似时，请你求出BN的长度；
（3）设抛物线的顶点为D在线段BC上方的抛物线上是否存在点P使得△PDC是等腰三角形？若存在，求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】分析：（1）易知OC的长，根据△ABC的面积即可得到AB的值，从而求得B点的坐标，在得到A、B、C三点坐标后，即可利用待定系数法求得该抛物线的解析式．
（2）已知了B、C的坐标，易求得BC的长和直线BC的解析式，联立抛物线的对称轴即可得到点M的坐标，从而求得BM的长，可设出点N的横坐标，若以M，N，B为顶点的三角形与△ABC相似，由于∠CBA=∠MBN，则有两种情况需要考虑：①△MBN∽△CBA，②△MBN∽△ABC；根据上述两种情况所得不同的比例线段即可求得点N的坐标，进而可求出BN的长．
（3）首先设出点P的坐标，然后分三种情况讨论：
①PC=PD，根据P、C、D三点坐标，分别表示出PC2、PD2的值，由于两式相等，即可求得P点横、纵坐标的关系式，联立抛物线的解析式，即可求得点P的坐标；
②PD=CD，此时C、D关于抛物线的对称轴对称，则P点坐标易求得；
③PC=CD，这种情况下，P点只能位于C点左侧的抛物线上，显然与题意不符．
解答：解：（1）∵C（0，3），
∴OC=3，
又∵S△ABC=
，
∴AB=4；
∵A为（-1，0），
∴B为（3，0），
设抛物线解析式y=a（x+1）（x-3）
将C（0，3）代入求得a=-1，
∴y=-x2+2x+3．
（2）抛物线的对称轴为直线x=-
=1，
由B（3，0），C（0，3），得直线BC解析式为：y=-x+3；
∵对称轴x=1与直线BC：y=-x+3相交于点M，
∴M为（1，2）；
可直接设BN的长为未知数．
设N（t，0），当△MNB∽△ACB时，
∴
即
=
即t=0，
∵△MNB∽△CAB时，∴
?
=
得t=
，
所以BN的长为3或
．
（3）存在．由y=-x2+2x+3得，抛物线的对称轴为直线x=-
，顶点D为（1，4）；
①当PD=PC时，设P点坐标为（x，y）根据勾股定理，
得x2+（3-y）2=（x-1）2+（4-y）2即y=4-x，
又P点（x，y）在抛物线上，4-x=-x2+2x+3，
即x2-3x+1=0，
解得x=
；
∴y=4-x=
或
即点P坐标为（
）或（
）；
②当CD=PD时，即P，C关于对称轴对称，
此时P的纵坐标为3，即3=-x2+2x+3，
解得x1=2，x2=0（舍去），
∴P为（2，3）；
③当PC=CD时，P只能在C点左边的抛物线上，所以不考虑；
∴符合条件的点P坐标为（
），（
）或（2，3）．
点评：此题主要考查了三角形面积的计算方法、用待定系数法确定函数解析式的方法、相似三角形的判定和性质、以及等腰三角形的构成情况等重要知识点，要注意的是（2）（3）中都用到了分类讨论的数学思想，所以考虑问题一定要全面，以免漏解．
（2）已知了B、C的坐标，易求得BC的长和直线BC的解析式，联立抛物线的对称轴即可得到点M的坐标，从而求得BM的长，可设出点N的横坐标，若以M，N，B为顶点的三角形与△ABC相似，由于∠CBA=∠MBN，则有两种情况需要考虑：①△MBN∽△CBA，②△MBN∽△ABC；根据上述两种情况所得不同的比例线段即可求得点N的坐标，进而可求出BN的长．
（3）首先设出点P的坐标，然后分三种情况讨论：
①PC=PD，根据P、C、D三点坐标，分别表示出PC2、PD2的值，由于两式相等，即可求得P点横、纵坐标的关系式，联立抛物线的解析式，即可求得点P的坐标；
②PD=CD，此时C、D关于抛物线的对称轴对称，则P点坐标易求得；
③PC=CD，这种情况下，P点只能位于C点左侧的抛物线上，显然与题意不符．
解答：解：（1）∵C（0，3），
∴OC=3，
又∵S△ABC=
，∴AB=4；
∵A为（-1，0），
∴B为（3，0），
设抛物线解析式y=a（x+1）（x-3）
将C（0，3）代入求得a=-1，
∴y=-x2+2x+3．
（2）抛物线的对称轴为直线x=-
=1，由B（3，0），C（0，3），得直线BC解析式为：y=-x+3；
∵对称轴x=1与直线BC：y=-x+3相交于点M，
∴M为（1，2）；
可直接设BN的长为未知数．
设N（t，0），当△MNB∽△ACB时，
∴
即
=即t=0，∵△MNB∽△CAB时，∴
?=得t=
，所以BN的长为3或
．（3）存在．由y=-x2+2x+3得，抛物线的对称轴为直线x=-
，顶点D为（1，4）；①当PD=PC时，设P点坐标为（x，y）根据勾股定理，
得x2+（3-y）2=（x-1）2+（4-y）2即y=4-x，
又P点（x，y）在抛物线上，4-x=-x2+2x+3，
即x2-3x+1=0，
解得x=
；∴y=4-x=
或即点P坐标为（）或（）；②当CD=PD时，即P，C关于对称轴对称，
此时P的纵坐标为3，即3=-x2+2x+3，
解得x1=2，x2=0（舍去），
∴P为（2，3）；
③当PC=CD时，P只能在C点左边的抛物线上，所以不考虑；
∴符合条件的点P坐标为（
），（）或（2，3）．点评：此题主要考查了三角形面积的计算方法、用待定系数法确定函数解析式的方法、相似三角形的判定和性质、以及等腰三角形的构成情况等重要知识点，要注意的是（2）（3）中都用到了分类讨论的数学思想，所以考虑问题一定要全面，以免漏解．
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