Question

如图，直线y=-x+20与x轴、y轴分别交于A、B两点，动点P从A点开始在线段AO上以每秒3个长度单位的速度向原点O运动. 动直线EF从x轴开始以每秒1个长度单位的速度向上平行移动（即EF∥x轴），并且分别与y轴、线段AB交于E、F点. 连结FP，设动点P与动直线EF同时出发，运动时间为t秒．

(1) 当t＝1秒时，求梯形OPFE的面积.

(2) t为何值时，梯形OPFE的面积最大，最大面积是多少？

(3) 设t的值分别取t₁、t₂时(t₁≠t₂)，所对应的三角形分别为△AF₁P₁和△AF₂P₂．试判断这两个三角形是否相似，请证明你的判断.

Answer 1

设梯形OPFE的面积为S.

(1) A(20，0)，B(0，20)

∴OA=OB=20，∠A=∠B=45°..

当t=1时，OE=1，AP=3，∴OP=17，EF=BE=19.

∴S=(OP+EF)·OE=18.

(2) OE=t，AP=3t，∴OP=20-3t，EF=BE=20-t.

∴S=(OP+EF)·OE=(20-3t +20-t)·t =-2t²+20t=-2(t-5)²+50.

∴当t=5 (在0<t<范围内)时，S_最大值=50.

当t=t₁时，AF₁=t₁，AP₁=3t₁；当t=t₂时，AF₂=t₂，AP₂=3t₂；

∴，又∠A=∠A，∴△AF₁P₁∽△AF₂P₂.