Question

如图，已知△ABC中，AB=AC，D是AC边上一点，∠A=36°，∠ADB=108°．
求证：（1）AD=BD=BC；（2）写出CD与AD的比值．（不用给出解答过程）

Answer 1

分析：（1）利用等腰三角形的性质和三角形的内角和可求出所有的角，然后根据角相等得到边相等．
（2）证明△BCD∽△ABC，再由（1）AD=BD=BC，可得到CD与AD的比值．

解答：证明：（1）在△ADB中，∠ABD=180°-36°-108°=36°，
∴AD=BD．
又∵AB=AC，
∴∠C=（180°-36°）÷2=72°．
而∠BDC=180°-108°=72°，
∴BD=BC，
∴AD=BD=BC．

（2）由（1）知△BDC和△ABC都是顶角为36°的等腰三角形，
所以△BDC∽△ABC，
∴

BD

AB

 = 

DC

BC

．
又∵AD=BD=BC，AB=AC，
∴AD²=AB•DC=（AD+DC）DC，即DC²+AD•DC-AD²=0，
解关于DC的一元二次方程得DC=

-1±  5

2

AD（负号舍去），
所以

DC

AD

 = 

5- 1

2

．

点评：熟练掌握等腰三角形的判定和性质定理；记住三角形的内角和定理；熟悉三角形相似的判定．了解黄金分割和黄金分割点，记住黄金分割数

5 -1

2

．