Question

如图，四边形ABCD是正方形，其中A（1，1），B（3，1），D（1，3）．反比例函数的图象经过对角线BD的中点M，与BC，CD的边分别交于点P、Q．
（1）直接写出点M，C的坐标；
（2）求直线BD的解析式；
（3）线段PQ与BD是否平行？并说明理由．

Answer 1

解：（1）∵点M是线段B、D的中点，B（3，1），D（1，3），
∴点M的横坐标为：=2，点M的纵坐标为：=2，
∴点M的坐标为（2，2），
∵四边形ABCD是正方形，
∴点B与点C的横坐标相同，点C与点D的纵坐标相同即可求出C点坐标；
∴点C的坐标为（3，3）；

（2）设直线BD的解析式为y=kx+b，
∵B（3，1），D（1，3）在直线BD上，
∴，解得．
∴直线BD的解析式为y=-x+4；

（3）PQ∥BD．理由如下：
∵反比例函数的图象经过M（2，2），
∴，解得m=4．
∴反比例函数的解析式为．
∵反比例函数的图象与BC交于点P，
∴点P的横坐标为3，当x=3时，．
∴点P的坐标为（3，）．
同理点Q的坐标为（，3）．
∴CP=CQ=．
∴∠CPQ=45°．
又∵∠CBD=45°，
∴∠CPQ=∠CBD．
∴PQ∥BD．
分析：（1）直接根据中点坐标公式即可求出点M的坐标；再根据点B与点C的横坐标相同，点C与点D的纵坐标相同即可求出C点坐标；
（2）设直线BD的解析式为y=kx+b，由已知B（3，1），D（1，3），再把B、D两点的坐标代入即可求出k、b的值，进而得出结论；
（3）先根据反比例函数y=过点M（2，2）可求出m的值，由此可求出点P、Q两点的坐标，故可得出CP=CQ=，即∠CPQ=45°，再由直线BD是正方形ABCD的对角线可知∠CBD=45°，故∠CPQ=∠CBD，进而可得出结论．
点评：本题考查的是反比例函数综合题，涉及到正方形的性质、用待定系数法求一次函数及反比例函数的解析式等知识，难度适中．