Question

如图，甲船从港口A出发沿北偏东15°方向行驶，同时，乙船也从港口A出发沿西北方向行驶．若干小时之后，甲船位于点C处，乙船位于港口B的北偏东60°方向，距离岸BD边10海里的P处．并且观测到此时点B、P、C在同一条直线上．求甲船航行的距离AC为多少海里（结果保留根号）？

Answer 1

分析：作出点P到AB的距离，易得∠B的度数为30°，∠PAB的度数为45°，可得BQ，AQ的长度，也就求得了AB的长度，构造AB为斜边，∠B为锐角的直角三角形，求得AE的距离，∠EAC的度数，即可求得AC的距离．

解答：解：过A作AE⊥BC于点E，过P作PQ⊥BD于点Q．
由题意得∠B=30°，
∵PQ=10，tanB=

3

3

，
∴BQ=10

3

，
∵乙船也从港口A出发沿西北方向行驶．
∴∠PAQ=45°，
∴AQ=10，
∴AB=10

3

+10，
∵sinB=

1

2

，
∴AE=5

3

+5，
∵∠BAC=90°+15°=105°，∠BAE=60°，
∴∠EAC=45°，
∵AE⊥BC，
∴AC=5

6

+5

2

．
答：甲船航行的距离AC为（5

6

+5

2

）海里．

点评：本题综合考查了解直角三角形的应用；判断出所给角的度数是解决本题的突破点；构造出特殊角所在的两个直角三角形是解决本题的关键．