Question

已知一元二次方程x²+px+q+1=0的一根为2。
（1）求q关于p的关系式；
（2）求证：抛物线y=x²+px+q与x轴有两个交点；
（3）设抛物线y=x²+px+q的顶点为M，且与x轴相交于A（x₁，0）、B（x₂，0）两点，求使△AMB面积最小时的抛物线的解析式。

Answer 1

解：（1）由题意，得
即。
（2）∵一元二次方程的判别式
由（1）得
∴一元二次方程有两个不相等的实根
∴抛物线与x轴有两个交点。
（3）抛物线顶点的坐标为
∵是方程的两个根
∴
∴
∴
要使最小，只须使最小
而由（2）得，
所以当时，有最小值4，
此时
故抛物线的解析式为。