Question

如图，AB为⊙0的直径，DC、DA、CB分别切⊙O于G、A、B，OE⊥BD于F，交BC的延长线于E，连CF．
（1）求证：

BC

OB

=

OA

AD

；
（2）若tan∠ABD=

3

4

，求tan∠CFE的值．

Answer 1

考点：切线的性质,相似三角形的判定与性质

专题：

分析：（1）首先连接OC，OD，由DC、DA、CB分别切⊙O于G、A、B，根据切线的性质与切线长定理，可证得∠COD=90°，继而可证得△DOA∽△OCB，然后由相似三角形的对应边成比例，证得结论；
（2）由tan∠ABD=

3

4

，可证得CB=

2

3

OB，易证得C是BE的中点，继而可得∠CFE=∠CEF=∠ABD，则可证得结论．

解答：（1）证明：连接OC，OD，
∵DC、DA、CB分别切⊙O于G、A、B，
∴∠A=∠OBC=90°，∠ODA=∠ODG=

1

2

∠ADG，∠OCB=∠OCG=

1

2

∠BCG，
∵∠ADG+∠BCG=180°，
∴∠ODG+∠OCG=90°，
∴∠COD=90°，
∴∠AOD+∠BOC=90°，
∵∠AOD+∠ODA=90°，
∴∠ODA=∠BOC，
∴△DOA∽△OCB，
∴

BC

OB

=

OA

AD

；

（2）解：∵tan∠ABD=

3

4

，
∴

AD

AB

=

3

4

，
∵OA=OB=

1

2

AB，
∴

CB

OB

=

OA

AD

=

2

3

，
∴CB=

2

3

OB，
在Rt△OBE中，BF⊥OE，
∴∠BEO=∠ABD，
∴tan∠OEB=tan∠ABD=

3

4

，
即

OB

BE

=

3

4

，
∴BE=

4

3

OB，
∴BC=

1

2

BE，
即C是BE的中点，
∵BF⊥FE，
∴CF=CE=

1

2

BE，
∴∠CFE=∠CEF=∠ABD，
∴tan∠CFE=tan∠ABD=

3

4

．

点评：此题考查了切线的性质、切线长定理以及三角函数等知识．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．