题目内容

如图，直线 $数学公式$ 与双曲线 $数学公式$ （k＞0）在第一象限内的交点为R，与x轴的交点为P，与y轴的交点为Q；作RM⊥x轴于点M，若△OPQ与△PRM的面积是4：1，则k等于________．

$\text{[math]}$
分析：先求出Q的坐标为（0，-2），P点坐标为（ $\text{[math]}$ ，0），易证Rt△OQP∽Rt△MRP，根据三角形相似的性质得到 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，分别求出PM、RM，得到OM的长，从而确定R点坐标，然后代入 $\text{[math]}$ （k＞0）求出k的值．
解答：对于y= $\text{[math]}$ x-2，
令x=0，则y=-2，
∴Q的坐标为（0，-2），即OQ=2；
令y=0，则x= $\text{[math]}$ ，
∴P点坐标为（ $\text{[math]}$ ，0），即OP= $\text{[math]}$ ；
∵Rt△OQP∽Rt△MRP，
而△OPQ与△PRM的面积是4：1，
∴ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
∴PM= $\text{[math]}$ OP= $\text{[math]}$ ，RM= $\text{[math]}$ OQ=1，
∴OM=OP+PM= $\text{[math]}$ ，
∴R点的坐标为（ $\text{[math]}$ ，1），
∴k= $\text{[math]}$ ×1= $\text{[math]}$ ．
故答案为 $\text{[math]}$ ．
点评：本题考查了解反比例函数的综合题．点在函数图象上，点的横纵坐标满足图象的解析式；三角形相似的性质：相似三角形面积的比等于相似比的平方，对应边的比相等．