Question

如图①，P是△ABC边AC上的动点，以P为顶点作矩形PDEF，顶点D,E在边BC上，顶点F在边AB上；△ABC的底边BC及BC上的高的长分别为a , h,是关于x的一元二次方程的两个实数根，设过D,E,F三点的⊙O的面积为,矩形PDEF的面积为。

（1）求证：以a+h为边长的正方形面积与以a、h为边长的矩形面积之比不小于4；

（2）求的最小值；

（3）当的值最小时，过点A作BC的平行线交直线BP与Q，这时线段AQ的长与m , n , k的取值是否有关？请说明理由。（11分）

Answer 1

解：解法一：

（1）据题意，∵a+h=.

∴所求正方形与矩形的面积之比：

由知同号,

（说明:此处未得出只扣1分, 不再影响下面评分）

即正方形与矩形的面积之比不小于4.

（2）∵∠FED=90º,∴DF为⊙O的直径.

⊙

∴⊙O的面积为：．

矩形PDEF的面积：．

⊙

∴面积之比： 设

⊙

,   

⊙

，即时（EF=DE）, 的最小值为

⊙

（3）当的值最小时，这时矩形PDEF的四边相等为正方形．

过B点过BM⊥AQ，M为垂足，BM交直线PF于N点，设FP＝ e，

∵BN∥FE，NF∥BE,∴BN=EF,∴BN =FP =e.

由BC∥MQ,得：BM =AG =h.

∵AQ∥BC, PF∥BC, ∴AQ∥FP,

∴△FBP∽△ABQ.

（说明：此处有多种相似关系可用，要同等分步骤评分）

∴,

∴.∴

∴线段AQ的长与m，n，k的取值有关.    

（解题过程叙述基本清楚即可）

解法二：

（1）∵a，h为线段长，即a，h都大于0，

　∴ah＞０（说明:此处未得出只扣1分,再不影响下面评分）

  ∵（a-h）^２≥０，当a＝h时等号成立.

　　　　    故，（a-h）^２＝（a＋h）^２－４a h≥０．

　　　　∴（a＋h）^２≥４a h，

　　　　∴≥４．（﹡）

　　　　　　这就证得≥４．（叙述基本明晰即可）

（2）设矩形PDEF的边PD=x，DE=y，则⊙O的直径为 .

          S_⊙O=, S_矩形PDEF=xy

⊙

=  

=

由（1）（*），            .

.

⊙

∴的最小值是

⊙

（3）当的值最小时，

这时矩形PDEF的四边相等为正方形.

∴EF=PF．作AG⊥BC，G为垂足.

∵△AGB∽△FEB，∴.

∵△AQB∽△FPB, ，

∴=．

而 EF=PF，∴AG=AQ=h,

∴AG=h＝,

或者AG=h＝

∴线段AQ的长与m，n，k的取值有关.

（解题过程叙述基本清楚即可）