Question

【题目】如图，在中，，在、上分别找点、，使，将绕点顺时针方向旋转，的中点恰好落在的中点，延长交于，连接.

（1）四边形是什么特殊四边形？说明理由.

（2）是否存在中，使得图中四边形为菱形？若不存在，说明理由；若存在，求出此时的面积与面积的倍数关系.

Answer 1

【答案】（1）四边形是平行四边形，理由见解析；（2）存在，，理由见解析.

【解析】

（1）由于AE＝AF，且O是EF中点，根据等腰三角形三线合一的性质知：AO⊥EF，即FO∥BD，从而证得OF是△ABD的中位线，由此可得BD＝2OF＝EF，那么BD、EF平行且相等，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形即可判断出四边形BDFE的形状．

（2）当四边形BDFE是菱形时，BD＝FD，即AF＝2BD，由此可得∠FAO＝30°，∠BAC＝∠EAF＝60°；易证得△FOA∽△ABC，首先求出FO、OA即FO、AB的比例关系，即可得到△AFO、△ABC的面积比，进而可得到△AEF、△ABC的面积比．

解：（1）四边形是平行四边形；

理由：∵，且是中点，

∴，即；

∵是中点，

∴是的中位线，即，

∴、平行且相等，

∴四边形是平行四边形.

（2）若四边形是菱形，则，即，

∴，；

∵，，

∴，

在中，，则，即；

∴，

又∵，

∴.