题目内容
求360的所有正约数的倒数和．分析：设正整数a的所有正约数之和为b，d1、d2、d3、d4…dn为a的所有正约数从小到大的排列，再求出其倒数和的表达式，再把360化为23×32×5的形式，进而求出b的值即可得出答案．
解答：解：设正整数a的所有正约数之和为b，d1、d2、d3、d4…dn为a的所有正约数从小到大的排列，于是d1、=1，d2、d3、d4…dn为a的所有正约数从小到大的排列，于是d1=1，dn=a，
由于S=
+
+
+…+
中各分数分母的最小公倍数为dn=a，
故S=
+
+
+…+
=
=
，
而a=360=23×32×5，
故b=（1+2+22×23）×（1+3+32）×（1+5）=1170，
所以360的所有正约数的倒数和为：
=3
．
故答案为：3
．
由于S=
| 1 |
| d1 |
| 1 |
| d2 |
| 1 |
| d3 |
| 1 |
| dn |
故S=
| dn |
| dn |
| dn-1 |
| dn |
| dn-2 |
| dn |
| d1 |
| dn |
| d1+d2+d3+…dn |
| dn |
| b |
| a |
而a=360=23×32×5，
故b=（1+2+22×23）×（1+3+32）×（1+5）=1170，
所以360的所有正约数的倒数和为：
| 1170 |
| 360 |
| 1 |
| 4 |
故答案为：3
| 1 |
| 4 |
点评：本题考查的是整数问题的综合运用，能设出正整数a的所有正约数之和为b，求出其倒数和的表达式是解答此题的关键．
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