Question

已知：如图，在平面直角坐标系中，点B在x轴上，以3为半径的⊙B与y轴相切，直线l过点A（-2，0），且和⊙B相切，与y轴相交于点C．
（1）求直线l的解析式；
（2）若抛物线y=ax²+bx+c（a＞0）经过点O和B，顶点在⊙B上，求抛物线的解析式；
（3）若点E在直线l上，且以A为圆心，AE为半径的圆与⊙B相切，求点E的坐标．

Answer 1

分析：（1）过B作BD⊥直线l于D，由于直线l与⊙B相切，那么BD=3，进而可求得AD=4，即可得到∠CAO的余切值，从而在Rt△CAO中，根据OA的长，求得OC的值，也就能得到C点的坐标，进而可利用待定系数法求得直线l的解析式；
（2）若抛物线同时经过O、B两点，那么抛物线的顶点必为线段OB的垂直平分线与⊙B的交点，过OB的中点F作OB的垂线，交⊙B于H，那么点H即为抛物线的顶点，连接BH，通过解直角三角形，易求得BF、FH的长，即可得到点H的坐标，然后可利用待定系数法求得该抛物线的解析式；
（3）此题要分两种情况考虑：
①两圆外切，那么AE=AO=2，利用∠CAO的正弦值和余弦值，即可求得点E的坐标，
②两圆内切，那么AE=8，同①可求得点E的坐标．

解答：解：（1）过B作BD垂直l交于点D，
∵⊙B与l相切，
∴BD=3，
在Rt△ADB中，AB=5，AD=

(5)2-(3)2

=4，
在Rt△ACO、Rt△ADB中，cot∠CAO=

4

3

，
∵AO=2，
∴CO=1.5．
设直线l的解析式为y=kx+1.5，A（-2，0）代入
得k=

3

4

，
∴y=

3

4

x+1.5；

（2）过OB的中点F作HF垂直于x轴交⊙B于点H，连接BH．
∵在Rt△HFB中，BH=3，BF=1.5，
HF=

(3)2-(1.5)2

=

3

2

3

，
∴H(

3

2

，-

3

2

3

)，
将O（0，0）、B（3，0）、H(

3

2

，-

3

2

3

)代入y=ax²+bx+c（a＞0），
得y=

2

3

3

x2-2

3

x；

（3）当两圆外切时，AE=2，
作EN⊥x轴于点N．则△AEN∽△ABD，
∴

EN

BD

=

AE

AB

，即

EN

3

=

2

5

，解得：EN=

6

5

，
把y=

6

5

代入y=

3

4

x+1.5得：x=-

2

5

，则E的坐标是：（-

2

5

，

6

5

），
同理，当E在A的左侧时坐标是：（-

18

5

，-

6

5

）；
当两圆内切时，AE=8，同上可求得：E（

22

5

，

24

5

）或（-

42

5

，-

24

5

）．

点评：此题主要考查了切线的性质、解直角三角形、函数解析式的确定、抛物线的对称性、圆与圆的位置关系等知识，难度适中．