Question

如图，在△ABC中，∠B=60°，AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线，AD、CE相交于点F，请你判断并写出FE与FD之间的数量关系；请说明理由．

Answer 1

分析：方法一：在AC上截取AG=AE，连接FG，根据“边角边”证明△AEF和△AGF全等，根据全等三角形对应角相等可得∠AFE=∠AFG，全等三角形对应边相等可得FE=FG，再根据角平分线的定义以及三角形的内角和定理推出∠2+∠3=60°，从而得到∠AFE=∠CFD=∠AFG=60°，然后根据平角等于180°推出∠CFG=60°，然后利用“角边角”证明△CFG和△CFD全等，根据全等三角形对应边相等可得FG=FD，从而得证；
方法二：过点F分别作FG⊥AB于点G，FH⊥BC于点H，根据三角形内心的性质可得FG=FH，再根据角平分线的定义以及三角形的内角和定理推出∠2+∠3=60°，然后根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和证明∠GEF=∠HDF，再利用“角角边”证明△EGF和△DHF全等，根据全等三角形对应边相等即可证明．

解答：解：FE=FD．
理由如下：方法一：如图1，在AC上截取AG=AE，连接FG，
∵AD是∠BAC的平分线，
∴∠1=∠2，
在△AEF和△AGF中，

AG=AE ∠1=∠2 AF=AF

，
∴△AEF≌△AGF（SAS），
∴∠AFE=∠AFG，FE=FG，
∵∠B=60°，
∴∠BAC+∠ACB=180°-60°=120°，
∵AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线，
∴∠2=

1

2

∠BAC，∠3=

1

2

∠ACB，
∴∠2+∠3=

1

2

（∠BAC+∠ACB）=

1

2

×120°=60°，
∴∠AFE=∠CFD=∠AFG=60°．
∴∠CFG=180°-∠AFG-∠CFD=180°-60°-60°=60°，
∴∠CFG=∠CFD，
∵CE是∠BCA的平分线，
∴∠3=∠4，
在△CFG和△CFD中，

∠CFG=∠CFD FC=FC ∠3=∠4

，
∴△CFG≌△CFD（ASA），
∴FG=FD，
∴FE=FD；

方法二：如图2，过点F分别作FG⊥AB于点G，FH⊥BC于点H，
∵F是△ABC的内心，
∴FG=FH，
∵∠B=60°，
∴∠BAC+∠ACB=180°-60°=120°，
∵AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线，
∴∠2=

1

2

∠BAC，∠3=

1

2

∠ACB，
∴∠2+∠3=

1

2

（∠BAC+∠ACB）=

1

2

×120°=60°，
∴∠AFE=∠2+∠3=60°，
∴∠GEF=60°+∠1，
又∵∠HDF=∠B+∠1=60°+∠1，
∴∠GEF=∠HDF，
在△EGF和△DHF中，

∠EGF=∠DHF=90° ∠GEF=∠HDF FG=FH

，
∴△EGF≌△DHF（AAS），
∴FE=FD．

点评：本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的定义，三角形的内角和定理，以及三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，根据所求角度正好等于60°得到角相等是解题的关键．