Question

如图，为直径，且弦于，过点的切线与的延长线交于点．

（1）若是的中点，连接并延长交于．求证：；
（2）若，求的半径．

Answer 1

解：（1）证明：连接．

为的直径，且于，
由垂径定理得：点是的中点．
又是的中点
是的中位线

为直径，，
即
（2）如图，连接

与同对，

为的切线，
在中，
设，则，由勾股定理得：· 7分
又为直径，


即        
直径  则的半径为

（1）连接AC．欲求MN⊥BC，只需证MN∥AC即可．由于直径AB⊥CD，由垂径定理知E是CD中点，而M是AD的中点，故EM是△ACD的中位线，可得ME（即MN）∥AC，由此得证；
（2）由于∠A、∠C所对的弧相同，因此cosA=cosC，由此可得BF、AF、AB的比例关系，用未知数表示出它们的长；
连接BD，证△BDF∽△ABF，根据所得比例线段即可求得未知数的值（也可利用切割线定理求解），从而得到直径AB的长，也就能求出⊙O的半径．