Question

已知△ABC是等腰直角三角形，∠A=90°，D是腰AC上的一个动点，过C作CE垂直于BD或BD的延长线，垂足为E，如图．

（1）若BD是AC的中线，求

BD

CE

的值；
（2）若BD是∠ABC的角平分线，求

BD

CE

的值；
（3）结合（1）、（2），试推断

BD

CE

的取值范围（直接写出结论，不必证明），并探究

BD

CE

的值能小于

4

3

吗？若能，求出满足条件的D点的位置；若不能，说明理由．

Answer 1

分析：先设AB=AC=2a，CD=a，则BC=

2

a，AD=a．求出BD，又求得Rt△ABD∽Rt△ECD，
（1）BD是AC的中线，则CD=AD=x=

1

2

，则解得；
（2）BD是∠ABC的角平分线，则求得x，y值；
（3）由以上两个问题，从

DB

CE

的比值求得x的值，则求得

AD

CD

的值．

解答：解：设CD=AD=a，则AB=AC=2a．
（1）在Rt△ABD中，由勾股定理得：BD=

5

a，
∵∠A=∠E=90°，∠ADB=∠EDC，
∴△BAD∽△CED，
∴

BD

CD

=

AB

CE

，
∴

5 a

a

=

2a

CE

，
解得：CE=

2a

5

，
∴

BD

CE

=

5 a

2a 5

=

5

2

；

（2）过点D作DF⊥BC于F，
∵BD是∠ABC的平分线，
∴AD=DF，
∵在Rt△ABC中，cos∠ABC=

AB

BC

=

2

2

，
在Rt△CDF中，sin∠DCF=

DF

CD

=

2

2

，
即

AD

CD

=

AB

BC

=

2

2

，
∴

AD+CD

CD

=

2+ 2

2

，
即

2a

CD

=

2+ 2

2

，
∴CD=2（2-

2

）a，
∴AD=AC-CD=2a-2（2-

2

）a=2（

2

-1）a，
∴BD²=AD²+AB²=8（2-

2

）a²，
∵Rt△ABD∽Rt△CED，
∴CE=

AB•CD

BD

=

4(2- 2 )

BD

a²．
∴

BD

CE

=

BD

4(2- 2 )a2 BD

=

BD2

4(2- 2 )a2

=2．

（3）当D在A点时，

BD

CE

=1，
当D越来越接近C时，

BD

CE

越来越接近无穷大，
∴

BD

CE

的取值范围是

BD

CE

≥1．
设AB=AC=1，CD=x，AD=1-x，
在Rt△ABD中，BD²=1²+（1-x）²，
又∵Rt△ABD∽Rt△ECD，
∴

CE

AB

=

CD

BD

，即

CE

1

=

x

12+(1-x)2

，
解得：CE=

x

12+(1-x)2

，
若y=

BD

CE

=x+

2

x

-2=

4

3

，则有3x²-10x+6=0，
∵0＜x≤1，
∴解得x=

5- 7

3

∴

AD

DC

=

1-x

x

=

7 -1

6

，
表明随着点D从A向C移动时，BD逐渐增大，而CE逐渐减小，

BD

CE

的值则随着D从A向C移动而逐渐增大，
∴探究

BD

CE

的值能小于

4

3

，此时AD=

7 -1

6

CD．

点评：本题考查了相似三角形的判定和性质，本题从中线，角平分线以及中线与角平线相结合的问题来考查，是一道考查全面的好题．