Question

如图所示，已知m、n是方程的两个实数根，且m<n，抛物线的图像经过点A(m，0)、B(0，n)．

 

（1）求这个抛物线的解析式；

（2）设（1）中抛物线与x轴的另一交点为C，抛物线的顶点为D，试求出点C、D的坐标和△BCD的面积；

（注：抛物线的顶点坐标为

（3）P是线段OC上的一点，过点P作PH⊥x轴，与抛物线交于H点，若直线BC把△PCH分成面积之比

为2：3的两部分，请求出P点的坐标．

 

Answer 1

【答案】

（1）；（2）C（－5，0），D（－2，9），15；（3）或

【解析】

试题分析：（1）先解方程得，即可得到点A、B的坐标，再将A、B的坐标分别代入，即可得到结果；

（2）由，令y＝0，即可求得C点的坐标，再由顶点坐标公式计算得点D的坐标，过D作x轴的垂线交x轴于M，则，，，

所以；

（3）设P点的坐标为（a，0），由线段BC过B、C两点即可求得BC所在的直线方程，从而得到PH与直线BC的交点坐标，表示出PH与抛物线的交点坐标，再分①，②两种情况即可求得结果.

（1）解方程，得 

由m<n，有m＝1，n＝5 所以点A、B的坐标分别为A（1，0），B（0，5）．

将A（1，0），B（0，5）的坐标分别代入．

得解这个方程组，得

所以抛物线的解析式为；

（2）由，令y＝0，得  

解这个方程，得

所以C点的坐标为（－5，0）．

由顶点坐标公式计算，得点D（－2，9）．

过D作x轴的垂线交x轴于M

    

则

， 

所以，. 

（3）设P点的坐标为（a，0）

因为线段BC过B、C两点，所以BC所在的直线方程为y＝x+5．

那么，PH与直线BC的交点坐标为E(a，a+5)， 

PH与抛物线的交点坐标为 

由题意得①，即

解这个方程，得或（舍去）

②，即

解这个方程，得或（舍去），

∴P点的坐标为或.

考点：二次函数的综合题

点评：本题知识点多，综合性强，难度较大，一般是中考压轴题，主要考查学生对二次函数的性质的熟练掌握情况.