题目内容

如图，在Rt△ABC中，AC=24cm，BC=7cm，P点在BC上，从B点到C点运动（不包括C点），点P运动的速度为2cm/s；Q点在AC上从C点运动到A点（不包括A点），速度为5cm/s．若点P、Q分别从B、C同时运动，且运动时间记为t秒，请解答下面的问题，并写出探索的主要过程．
（1）当t为何值时，P、Q两点的距离为5 $数学公式$ cm？
（2）当t为何值时，△PCQ的面积为15cm²？
（3）请用配方法说明，点P运动多少时间时，四边形BPQA的面积最小？最小面积是多少？

解：（1）∵在Rt△ABC中，AC=24cm，BC=7cm，
∴AB=25cm，
设经过ts后，P、Q两点的距离为5 $\text{[math]}$ cm，
ts后，PC=7-2t cm，CQ=5t cm，
根据勾股定理可知PC²+CQ²=PQ²，
代入数据（7-2t）²+（5t）²=（5 $\text{[math]}$ ）²；
解得t=1或t=- $\text{[math]}$ （不合题意舍去）；

（2）设经过ts后，S_△PCQ的面积为15cm²
ts后，PC=7-2t cm，CQ=5t cm，
S_△PCQ= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ×（7-2t）×5t=15
解得t₁=2，t₂=1.5，
经过2或1.5s后，S_△PCQ的面积为15cm²

（3）设经过ts后，△PCQ的面积最大，则此时四边形BPQA的面积最小，
ts后，PC=7-2t cm，CQ=5t cm，
S_△PCQ= $\text{[math]}$ ×PC×CQ= $\text{[math]}$ ×（7-2t）×5t= $\text{[math]}$ ×（-2t²+7t）
当t=- $\text{[math]}$ 时，即t= $\text{[math]}$ =1.75s时，△PCQ的面积最大，
即S_△PCQ= $\text{[math]}$ ×PC×CQ= $\text{[math]}$ ×（7-2×1.75）×5×1.75²= $\text{[math]}$ （cm²），
∴四边形BPQA的面积最小值为：S_△ABC-S_△PCQ最大= $\text{[math]}$ ×7×24- $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ （cm²），
当点P运动1.75秒时，四边形BPQA的面积最小为： $\text{[math]}$ cm²．
分析：（1）根据勾股定理PC²+CQ²=PQ²，便可求出经过1s后，P、Q两点的距离为5 $\text{[math]}$ cm²
（2）根据三角形的面积公式S_△PCQ= $\text{[math]}$ ×PC×CQ便可求出经过2或1.5s后，S_△PCQ的面积为15cm²
（3）根据三角形的面积公式S_△PCQ= $\text{[math]}$ ×PC×CQ以及二次函数最值便可求出t=1.75s时△PCQ的面积最大，进而求出四边形BPQA的面积最小值．
点评：本题主要考查了勾股定理和三角形面积公式的求法以及二次函数的应用，是各地中考的热点，属于中档题．