Question

如图，在△ABC中，AC=CB，∠ACB=90°，将△ACB绕点A逆时针旋转a后，得到△AC′B′．若AC=6cm，△AC′B′与△ACB重叠部分的面积为6cm²，则旋转角a的度数为

1. A.
   10°
2. B.
   15°
3. C.
   20°
4. D.
   30°

Answer 1

B
分析：根据旋转变换的性质可知∠C′=∠ACB=90°，再根据三角形的面积求出C′D的长度，然后解直角三角形求出∠C′AD，再判断出△ABC是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质求出∠BAC=45°，即可求出旋转角的度数．
解答：∵△AC′B′是△ACB绕点A逆时针旋转a后得到的，
∴∠C′=∠ACB=90°，AC′=AC=6cm，
∴重叠部分的面积=AC′•C′D=6，
即×6•C′D=6，
解得C′D=2，
tan∠C′AD===，
∴∠C′AD=30°，
又∵AC=CB，∠ACB=90°，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∴∠BAC=45°，
∴旋转角a=∠CAC′=∠BAC-∠C′AD=45°-30°=15°．
故选B．
点评：本题考查了旋转的性质，等腰直角三角形的判定与性质，特殊角的三角函数值，根据三角形的面积求出C′D的长度，然后解直角三角形求出∠C′AD的度数是解题的关键．