Question

如图，矩形ABCD中，点P是线段AD上一动点，O为BD的中点， PO的延长线交BC于Q.

（1）求证： OP=OQ；（4分）

（2）若AD=8厘米，AB=6厘米，P从点A出发，以1厘米/秒的速度向D运动（不与D重合）.设点P运动时间为t秒，请用t表示PD的长；并求t为何值时，四边形PBQD是菱形．（5分）

Answer 1

【答案】（1）证明：四边形ABCD是矩形，

∴AD∥BC，                         

∴∠PDO=∠QBO，又OB=OD，∠POD=∠QOB，

∴△POD≌△QOB，             

∴OP=OQ。                     

（2）解法一： PD=8-t  

∵四边形ABCD是矩形，∴∠A=90°，

∵AD=8cm，AB=6cm，∴BD=10cm，∴OD=5cm.               

当四边形PBQD是菱形时， PQ⊥BD，∴∠POD=∠A，又∠ODP=∠ADB，

∴△ODP∽△ADB，                                     

∴，即，                                     

解得,即运动时间为秒时，四边形PBQD是菱形.   

解法二：PD=8-t     

当四边形PBQD是菱形时，PB=PD=(8-t)cm，

∵四边形ABCD是矩形，∴∠A=90°，在RT△ABP中，AB=6cm，

∴，  ∴，

解得,即运动时间为秒时，四边形PBQD是菱形.