Question

已知：如图，AB是⊙O的直径，BD是⊙O的弦，延长BD到点C，使DC=BD，连结AC，过点D作DE⊥AC，垂足为E．

⑴求证：AB=AC；

⑵求证：DE为⊙O的切线；

⑶若⊙O的半径为5，∠BAC=60°，求DE的长．

Answer 1

证明：（1）连接AD；∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°．

又∵DC=BD，∴AD是BC的中垂线．∴AB=AC．.......................................... 2分

（2）连接OD；∵OA=OB，CD=BD，∴OD∥AC． ∴∠0DE=∠CED．

又∵DE⊥AC，∴∠CED=90°．∴∠ODE=90°，即OD⊥DE．

∴DE是⊙O的切线．          -----------------------------------------------------------3分

(3)∵∠BAC=60°　　AB＝AC  ∴⊿ABC为等边三角形，

而OB=5，∴BC=AB=10  ∴CD=5

在Rt⊿CDE中，DE⊥AC    ∠C=60°　∴DE= ..................................... 3分