题目内容
已知：如图， AF平分∠BAC，BC⊥AF， 垂足为E，点D与点A关于点E对称，PB分别与线段CF， AF相交于P，M．
(1)求证：AB=CD；
(2)若∠BAC=2∠MPC，请你判断∠F与∠MCD
的数量关系，并说明理由．
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解：
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(1)证明：∵AF平分∠BAC，∴∠CAD=∠DAB=
∠BAC．
∵D与A关于E对称，∴E为AD中点．
∵BC⊥AD，∴BC为AD的中垂线，∴AC=CD．）
在Rt△ACE和Rt△ABE中，
∠CAD+∠ACE=∠DAB+∠ABE=90°， ∠CAD=∠DAB．
∴∠ACE=∠ABE，∴AC=AB．
∴AB=CD．
(2)∵∠BAC=2∠MPC， 又∵∠BAC=2∠CAD，∴∠MPC=∠CAD．
∵AC=CD，∴∠CAD=∠CDA， ∴∠MPC=∠CDA．
∴∠MPF=∠CDM．
∵AC=AB，AE⊥BC，∴CE=BE．
∴AM为BC的中垂线，∴CM=BM．
∵EM⊥BC，∴EM平分∠CMB，(等腰三角形三线合一)
∴∠CME=∠BME．
∵∠BME=∠PMF，
∴∠PMF=∠CME，
∴∠MCD=∠F(三角形内角和)．
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