Question

如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，BD是角平分线．
（1）求证：△ABC∽△BCD；
（2）求证：BC是CD与CA的比例中项；
（3）若BC=2，求AB的长．

Answer 1

考点：相似三角形的判定与性质,等腰三角形的性质

专题：

分析：（1）利用角平分线的性质以及等腰三角形的性质得出对应角相等，进而得出相似三角形；
（2）利用（1）中所求，利用相似三角形的性质得出即可；
（3）利用等腰三角形的性质以及一元二次方程的解法得出即可．

解答：（1）证明：∵AB=AC，∠A=36°，
∴∠ABC=∠C=72°，
∵BD是角平分线，
∴∠ABD=∠DBC=36°，
∴∠A=∠CBD，
又∵∠C=∠C，
∴△ABC∽△BCD；

（2）证明：∵△ABC∽△BCD，
∴

AB

BC

=

BC

CD

，
∴AB×CD=BC²，
∵AB=AC，
∴AC×CD=BC²，
∴BC是CD与CA的比例中项；

（3）解：∵∠ABD=∠A=36°，
∴AD=BD=BC，
∵BC=2，
∴AD=2，
∴（2+DC）×CD=2²，
解得：CD=

5

-1，
∴AC=

5

-1+2=

5

+1．

点评：此题主要考查了相似三角形的判定与性质以及等腰三角形的性质等知识，利用已知得出△ABC∽△BCD是解题关键．