Question

【题目】已知，如图，且，．其中、、共线且交于．

（1）如图1，若为的中点，且，求的长．

（2）如图2，若，过点作交于点，求证：

Answer 1

【答案】（1）；（2）见解析

【解析】

（1）只要证明△DAC≌△EAB，推出CD=EB，∠ACD=∠ABE，由∠CFD=∠AFB，推出∠CDF=∠FAB=90°，再求出CD、BD，利用勾股定理求出BC即可解决问题．
（2）如图2中，延长AE交BC于J．想办法证明CA=CJ，BJ=BG即可解决问题．

（1）如图1中，

∵△ABC和△ADE均为等腰直角三角形，
∴∠BAC=∠EAD=90°，AB=AC，AE=AD=1，
∴∠EAB=∠DAC，
∴△DAC≌△EAB，
∴CD=EB=，∠ACD=∠ABE，
∵∠CFD=∠AFB，
∴∠CDF=∠FAB=90°，
∵DE=EB=CD=，
∴BC= ，
∴AB=AC=．
（2）如图2中，延长AE交BC于J．

∵DE=BE，DE=AE，
∴AE=EB，
∴∠EAB=∠EBA，
∵∠DEA=45°=∠EAB+∠EBA，
∵EF=BE，∠BAF=90°，
∴∠EAB=∠EBA=∠EBC=22.5°，
∴∠CAE=67.5°，
∴∠CJA=180°-∠CAJ-∠ACJ=67.5°，
∴∠CAJ=∠CJA，
∴CA=CJ=CB，
∵EG⊥AE，
∴∠AEG=∠GEJ=90°，
∴∠AGE=90°-22.5°=67.5°，
∵∠AGE=∠EBG+∠GEB，
∴∠BEG=45°=∠BEJ，
∵BE=BE，∠EBJ=∠EBG，
∴△EBJ≌△EBG（ASA），
∴BG=BJ，
∴BC=CJ+BJ=AB+BG．