Question

已知正方形ABCD和正方形AEFG有公共顶点A，将正方形AEFG绕点A旋转．

（1）发现：当E点旋转到DA的延长线上时（如图1），△ABE与△ADG的面积关系是：

 

．
（2）引申：当正方形AEFG旋转任意一个角度时（如图2），△ABE与△ADG的面积关系是：

 

．并证明你的结论．

Answer 1

分析：（1）根据面积公式可直接看出△ABE与△ADG是等底等高的关系，所以面积相等；
（2）过点E作△ABE中AB边上的高，交BA延长线于点P，过点G作△ADG中AD边上的高，交AD延长线于点Q．利用正方形和直角三角形的性质可证明△AEP≌△AGQ，即EP=QG，AB=AD，所以△ABE与△ADG也是等底等高，它们的面积关系是相等．

解答：解：（1）相等，

（2）过点E作△ABE中AB边上的高，交BA延长线于点P，
过点G作△ADG中AD边上的高，交AD延长线于点Q，
∵正方形ABCD和正方形AEFG中，内角都是直角，
∴∠EAP+∠GAP=90°，
∠QAG+∠GAP=90°，
∴∠EAP=∠DAG，
∵在正方形AEFG中，AE=AG，
在Rt△AEP和Rt△AGQ中，
∵

∠EPA=∠AQG=90° ∠EAP=∠DAG AE=AG

，
∴Rt△AEP≌Rt△AGQ（AAS），
∴EP=QG，
∵正方形ABCD中，AB=AD，
∴S_△ABE=

1

2

AB×EP=S_△ADG=

1

2

AD×QD．

点评：本题考查旋转，全等三角形的判定，正方形的性质等知识在几何综合题中运用．旋转前后许多线段相等，要掌握全等的判定方法，并会根据全等的性质和正方形的性质求得相等的线段或角．