Question

在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线C₁：
【小题1】（1）将抛物线C₁先向右平移2个单位，再向上平移1个单位，得到抛物线C₂，求抛物线C₂的顶点P的坐标及它的解析式．
【小题2】（2）如果轴上有一动点M，那么在两条抛物线C₁、C₂上是否存在点N，使得以点O、P、M、N为顶点的四边形是平行四边形（OP为一边）？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【小题1】(1) ∵，------1分     
∴抛物线C₁的顶点坐标是（1,1），
∴平移后的抛物线C₂顶点P（3，2）．------2分
∴． （或者）------3分
【小题2】(2) 存在点N（x,y）满足条件．------ 4分
∵以点O、P、M、N为顶点的四边形是平行四边形，∴，∴．
当点N在C₁上时，，即，解得；
∴N₁（）, N₂（）; 
当点N在C₂上时，，即，解得；
∴N₃（）, N₄（）．
∴满足条件的点N有4个，分别是N₁（）、N₂（）、N₃（）、N₄（）．      (说明: 每求出一个点N的坐标得1分)

解析